Nació en 1919 en la ciudad de Rosario, Santa Fe. En 1931, con tan solo 12 años de edad, inició su exitosa carrera grabando su primer disco como músico con el maestro Félix Pérez Cardozo. Luego de acompañar a distintos artistas, en 1955 Damasio creó su Sexteto Guaraní y posteriormente continuaría su carrera con el Conjunto Alma Guaraní, que fue acompañado por importantes músicos como Calixto Aranda, Raúl Barboza, Ramón Ayala, Roberto Galarza y sus hijos Cacho y Juan Carlos, entre otros. Damasio Esquivel falleció en Buenos Aires el 25 de abril de 2004.

En su vida compuso más de 320 obras, entre las cuales se destacan “La escondida”, “1 de Abril”, “Barrancas del Paraná”, “La reina de la selva”, “Bailanta nativa”, “Camino a Asunción”, “Barrio Sajonia”, “Alma nativa”, “Gaucho Correntino” y “Mariscal Estigarribia”, siendo su obra más difundida “Alma guaraní”, un clásico del género, grabada por grandes artistas como Ernesto Montiel, Tránsito Cocomarola, Ramona Galarza, Armando Nelli, Raúl Barboza, Los de Imaguaré y Rudi y Nini Flores, entre otros. En el año 1997 fue distinguido por la Cámara de Diputados de la Nación por su contribución a la cultura.

Damasio editó algunos discos para los sellos TK y Music Hall, que hoy forman parte del catálogo recuperado por INAMU en 2016. A principios de 2019, coincidiendo con los 100 años de su nacimiento, el Instituto editó el CD "Con Mi Alma Guaraní / Antología Music Hall" que compiló parte de esa obra y que incluye algunas versiones inéditas extraídas de las cintas recuperadas.